Прямоугольный треугольник: Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, гипотенуза равна 20 см. Найдите катеты этого треугольника. Чему равен меньший катет этого треугольника? Чему равен больший катет этого треугольника?

Решение: Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника, а c – гипотенуза. По условию, периметр P = 48 см и гипотенуза c = 20 см. 1. Запишем формулу периметра прямоугольного треугольника: \[P = a + b + c\] Подставим известные значения: \[48 = a + b + 20\] Выразим сумму катетов: \[a + b = 48 - 20 = 28\] 2. Используем теорему Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] Подставим значение гипотенузы: \[a^2 + b^2 = 20^2 = 400\] 3. Выразим b через a из уравнения \(a + b = 28\): \[b = 28 - a\] Подставим это выражение в уравнение \(a^2 + b^2 = 400\): \[a^2 + (28 - a)^2 = 400\] Раскроем скобки: \[a^2 + (28^2 - 2 \cdot 28 \cdot a + a^2) = 400\] \[a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400\] \[2a^2 - 56a + 784 - 400 = 0\] \[2a^2 - 56a + 384 = 0\] Разделим уравнение на 2: \[a^2 - 28a + 192 = 0\] 4. Решим квадратное уравнение \(a^2 - 28a + 192 = 0\): Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16\) Корни: \[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16\] \[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - \sqrt{16}}{2} = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12\] 5. Найдем соответствующие значения b: Если \(a = 16\), то \(b = 28 - 16 = 12\) Если \(a = 12\), то \(b = 28 - 12 = 16\) Таким образом, катеты равны 12 см и 16 см. Ответ: Меньший катет: 12 см Больший катет: 16 см Развернутый ответ для школьника: Мы решали задачу про прямоугольный треугольник, у которого известны периметр и гипотенуза. Наша задача – найти длины катетов, которые являются сторонами треугольника, образующими прямой угол. Сначала мы вспомнили, что периметр – это сумма длин всех сторон. Мы использовали это, чтобы найти связь между двумя неизвестными катетами. Потом применили теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длинной стороны) равен сумме квадратов катетов. Мы получили систему уравнений, которую решили, чтобы найти длины катетов. В итоге оказалось, что один катет равен 12 см, а другой – 16 см. Таким образом, мы нашли ответы на вопросы задачи.