355 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, АВ = 5 см.

Рассмотрим треугольник OAB. Он прямоугольный (AB - касательная). Известно, что ∠OAB = 30°, AB = 5 см. Тогда tg(∠OAB) = OB/AB, следовательно OB = AB * tg(30°) = 5 * (1/√3) = 5√3 / 3.

Так как AB и AC - касательные к окружности, проведенные из одной точки, то AB = AC и AO - биссектриса угла BAC, а также OB = OC (радиусы). Треугольники OAB и OAC равны по двум катетам. Значит ∠OAC = ∠OAB = 30°.

∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = 30° + 30° = 60°. Треугольник ABC равнобедренный (AB=AC). Значит, углы при основании BC равны: ∠ABC = ∠ACB = (180° - 60°) / 2 = 60°. Получается, что треугольник ABC равносторонний (все углы равны 60°), значит, BC = AB = AC = 5 см.

Ответ: 5 см