101 Пусть число т является медианой числового набора. Покажите, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше т, не меньше чем 0,5.

Медиана числового набора - это число, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Если количество чисел в наборе четное, то медиана равна среднему арифметическому двух чисел, находящихся в середине набора.

В данном случае у нас есть значения 2, 3, 4 и 5 с частотами x, y, y, x соответственно. Предположим, что набор упорядочен по возрастанию значений.

Общее количество чисел в наборе равно $$x + y + y + x = 2x + 2y = 2(x + y)$$.

Пусть $$m$$ - медиана числового набора.

• Если $$m \le 2$$, то сумма частот чисел не больше $$m$$ равна $$x$$.
• Если $$2 < m \le 3$$, то сумма частот чисел не больше $$m$$ равна $$x + y$$.
• Если $$3 < m \le 4$$, то сумма частот чисел не больше $$m$$ равна $$x + 2y$$.
• Если $$4 < m \le 5$$, то сумма частот чисел не больше $$m$$ равна $$x + 2y + x = 2x + 2y$$.

Чтобы показать, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше $$m$$, не меньше 0.5, нужно доказать, что для каждого случая сумма частот больше или равна половине общего количества чисел в наборе.

• $$x \ge 0.5 \cdot 2(x + y) \implies x \ge x + y \implies 0 \ge y$$. Это не возможно, т.к. $$y>0$$.
• $$x + y \ge 0.5 \cdot 2(x + y) \implies x + y \ge x + y$$. Это всегда верно.
• $$x + 2y \ge 0.5 \cdot 2(x + y) \implies x + 2y \ge x + y \implies 2y \ge y \implies y \ge 0$$. Это всегда верно, т.к. $$y>0$$.
• $$2x + 2y \ge 0.5 \cdot 2(x + y) \implies 2x + 2y \ge x + y \implies x + y \ge 0$$. Это всегда верно, т.к. $$x>0$$ и $$y>0$$.

Таким образом, сумма частот всех чисел набора, которые не больше $$m$$, не меньше половины общего количества чисел в наборе.

Доказано.

Ответ: Доказано, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше m, не меньше чем 0,5.