10. Пусть последовательность (а) арифметическая прогрессия. Докажите, что если каждый член этой прогрессии разделить на одно и то же не равное нулю число, то полученная последова тельность также будет арифметической прогрессией.

Пусть дана арифметическая прогрессия a₁, a₂, a₃, ... , aₙ с разностью d.

Тогда aₙ₊₁ = aₙ + d

Разделим каждый член прогрессии на одно и то же число k ≠ 0. Получим новую последовательность:

b₁ = a₁ / k, b₂ = a₂ / k, b₃ = a₃ / k, ... , bₙ = aₙ / k

Нужно доказать, что bₙ₊₁ - bₙ = const

\[b_{n+1} - b_n = \frac{a_{n+1}}{k} - \frac{a_n}{k} = \frac{a_{n+1} - a_n}{k} = \frac{d}{k}\]

Так как d и k постоянны, то \(\frac{d}{k}\) тоже постоянная величина.

Следовательно, новая последовательность также является арифметической прогрессией с разностью \(\frac{d}{k}\).