Пусть сторона треугольника, медиана и высота, проведённые к другой стороне, конгруэнтны соответственно стороне, медиане и высоте другого треугольника (рисунок 49). Обоснуйте конгруэнтность этих треугольников.

Для доказательства конгруэнтности треугольников ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) рассмотрим заданные условия:

1. ( AB = A_1B_1 ) (стороны конгруэнтны).
2. ( CM = C_1M_1 ) (медианы конгруэнтны).
3. ( CH = C_1H_1 ) (высоты конгруэнтны).

Поскольку ( CM ) и ( C_1M_1 ) являются медианами, то ( M ) и ( M_1 ) – середины сторон ( AB ) и ( A_1B_1 ) соответственно. Следовательно, ( AM = MB = rac{1}{2}AB ) и ( A_1M_1 = M_1B_1 = rac{1}{2}A_1B_1 ). Так как ( AB = A_1B_1 ), то ( AM = A_1M_1 ) и ( MB = M_1B_1 ).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ( CHB ) и ( C_1H_1B_1 ). В них:

1. ( CH = C_1H_1 ) (по условию).
2. ( AB = A_1B_1 ) (по условию).

Тогда треугольники ( CHB ) и ( C_1H_1B_1 ) равны по катету и гипотенузе (гипотенуза это сторона AB и A1B1). Из равенства треугольников ( CHB ) и ( C_1H_1B_1 ) следует равенство углов ( angle B = angle B_1 ).

Рассмотрим треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ). У них:

1. ( AB = A_1B_1 ) (по условию).
2. ( angle B = angle B_1 ) (доказано выше).

Нужно доказать, что есть еще один равный элемент (сторона или угол), чтобы доказать конгруэнтность треугольников.

Рассмотрим треугольники ( CMB ) и ( C_1M_1B_1 ). У них:

1. ( MB = M_1B_1 ) (доказано выше).
2. ( CM = C_1M_1 ) (по условию).

Так как медиана проведена к стороне, то (angle CHB = 90^circ ). Также, (CB = C_1B_1) , как гипотенузы равных прямоугольных треугольников ( CHB ) и ( C_1H_1B_1 )

Тогда треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) равны по двум сторонам и углу между ними ( ( AB = A_1B_1 ), ( angle B = angle B_1 ) и (CB = C_1B_1) ).

Таким образом, треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) конгруэнтны.