50.6*. Пусть в прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2. Одна из проекций катетов на гипотенузу больше другой на 6 см. Найдите гипотенузу треугольника.

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 2x. Обозначим a = 3x и b = 2x.
2. Гипотенуза c будет равна: \[c = \sqrt{(3x)^2 + (2x)^2} = \sqrt{9x^2 + 4x^2} = \sqrt{13x^2} = x\sqrt{13}\]
3. Пусть a' и b' – проекции катетов a и b на гипотенузу соответственно. Одна из проекций больше другой на 6 см, то есть a' - b' = 6.
4. Известно, что a^2 = a' * c и b^2 = b' * c. Выразим проекции: \[a' = \frac{a^2}{c} = \frac{(3x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{9x^2}{x\sqrt{13}} = \frac{9x}{\sqrt{13}}\] \[b' = \frac{b^2}{c} = \frac{(2x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{4x^2}{x\sqrt{13}} = \frac{4x}{\sqrt{13}}\]
5. Подставим в уравнение a' - b' = 6: \[\frac{9x}{\sqrt{13}} - \frac{4x}{\sqrt{13}} = 6\] \[\frac{5x}{\sqrt{13}} = 6\] \[5x = 6\sqrt{13}\] \[x = \frac{6\sqrt{13}}{5}\]
6. Найдем гипотенузу: \[c = x\sqrt{13} = \frac{6\sqrt{13}}{5} \cdot \sqrt{13} = \frac{6 \cdot 13}{5} = \frac{78}{5} = 15.6 \text{ см}\]

Ответ: Гипотенуза треугольника равна 15.6 см.