r) y = √x sin x.

Для нахождения производной функции $$y = \sqrt{x} \sin x$$ используем правило произведения.

Пусть $$u(x) = \sqrt{x}$$ и $$v(x) = \sin x$$.

Тогда $$y = u(x)v(x)$$, и производная $$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$.

1. Находим производную $$u'(x)$$.

$$u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$$

$$u'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

2. Находим производную $$v'(x)$$.

$$v(x) = \sin x$$

$$v'(x) = \cos x$$

3. Подставляем полученные производные в формулу для $$y'$$.

$$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin x + \sqrt{x} \cos x = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$$

$$y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$$

Ответ: $$y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$$