1. Рабочие прокладывают тоннель длиной 87 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней. 2. Ире надо подписать 880 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Ира подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за восьмой день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Решение задачи 1: Пусть $$a_1$$ - количество метров тоннеля, проложенных в первый день, $$d$$ - ежедневное увеличение нормы прокладки, $$n$$ - количество дней, $$a_n$$ - количество метров тоннеля, проложенных в последний день, и $$S_n$$ - общая длина тоннеля. Нам дано: $$a_1 = 7$$, $$S_6 = 87$$, $$n = 6$$. Нужно найти $$a_6$$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ В нашем случае: $$87 = \frac{6}{2}(7 + a_6)$$ $$87 = 3(7 + a_6)$$ Разделим обе части на 3: $$29 = 7 + a_6$$ Выразим $$a_6$$: $$a_6 = 29 - 7$$ $$a_6 = 22$$ Ответ: В последний день рабочие проложили 22 метра туннеля. Решение задачи 2: Пусть $$b_1$$ - количество открыток, подписанных Ирой в первый день, $$d$$ - ежедневное увеличение количества подписанных открыток, $$n$$ - количество дней, $$b_8$$ - количество открыток, подписанных в восьмой день, и $$S_n$$ - общее количество открыток, подписанных за 16 дней. Нам дано: $$b_1 = 10$$, $$S_{16} = 880$$, $$n = 16$$. Нужно найти $$b_8$$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ В нашем случае: $$S_{16} = \frac{16}{2}(b_1 + b_{16}) = 880$$ $$8(10 + b_{16}) = 880$$ Разделим обе части на 8: $$10 + b_{16} = 110$$ Выразим $$b_{16}$$: $$b_{16} = 110 - 10$$ $$b_{16} = 100$$ Мы знаем, что $$b_n = b_1 + (n-1)d$$. Тогда: $$b_{16} = b_1 + 15d$$ $$100 = 10 + 15d$$ $$90 = 15d$$ $$d = \frac{90}{15} = 6$$ Теперь найдем $$b_8$$: $$b_8 = b_1 + 7d = 10 + 7 \cdot 6 = 10 + 42 = 52$$ Ответ: В восьмой день Ира подписала 52 открытки.