Работа № 2: «Четырёхугольники». Вариант 2. 1) В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках M и N. Найдите ∠ANB, если ∠AMC равен 120°. 2) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. E — середина стороны AB. ∠BAC равен 50°. Найдите угол EOD. 3) Периметр прямоугольника равен 28 см. Найдите его стороны, если одна из них в [числовые данные обрезаны] раз больше другой. 4) В ромбе угол равен 32°. Найдите углы, которые образуют его стороны с диагоналями. 5) Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

1) Пусть \(\angle BAC=\alpha\). Так как диагональ \(AC\) делит угол ромба пополам, угол \(A\) равен \(2\alpha\). Биссектриса угла \(BAC\) образует с каждой стороной угла \(\frac\alpha2\).

В треугольнике \(ABM\): \(\angle ABM=180^\circ-2\alpha\), \(\angle BAM=\frac\alpha2\). Поэтому \(\angle AMB=\frac{3\alpha}{2}\).

Так как точки \(B,M,C\) лежат на одной прямой, \(\angle AMC=180^\circ-\angle AMB=120^\circ\).

\(180^\circ-\frac{3\alpha}{2}=120^\circ\), откуда \(\alpha=40^\circ\).

В треугольнике \(ABN\): \(\angle BAN=20^\circ\), а диагональ \(BD\) делит угол \(B\) пополам, поэтому \(\angle ABN=50^\circ\). Тогда \(\angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ\).

Ответ: \(\angle ANB=110^\circ\).

2) В прямоугольнике угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\) равен 50°. Значит, диагональ образует с перпендикулярной стороной угол \(40^\circ\).

Точка \(O\) — центр прямоугольника, а \(E\) — середина \(AB\), поэтому \(OE\perp AB\). Следовательно, угол между лучами \(OE\) и \(OD\) равен \(40^\circ\).

Ответ: \(\angle EOD=40^\circ\).

3) Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, а большая — \(kx\) см, где \(k\) — указанное в условии число.

Из условия периметра: \(2(x+kx)=28\), поэтому \(x(k+1)=14\).

Следовательно, стороны равны \(\frac{14}{k+1}\) см и \(\frac{14k}{k+1}\) см.

Множитель, во сколько одна сторона больше другой, обрезан на изображении, поэтому числовой ответ определить нельзя.

4) Диагонали ромба делят его углы пополам. Половина данного угла равна \(32^\circ:2=16^\circ\). Соседний угол ромба равен \(180^\circ-32^\circ=148^\circ\), его половина — \(74^\circ\).

Ответ: стороны образуют с диагоналями углы \(16^\circ\) и \(74^\circ\).

5) Прямоугольник является параллелограммом. Если его диагонали перпендикулярны, то параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, то есть все его стороны равны. Таким образом, данный четырёхугольник одновременно является прямоугольником и ромбом. Следовательно, все его углы прямые и все стороны равны, поэтому он является квадратом.