Радиус круга R = 6. Площадь его сектора равна 3π. Найдите площадь сегмента, ограниченного той же дугой.

Решение:

• Шаг 1: Находим угол сектора.

Площадь сектора выражается формулой:

\[S_{сектора} = \frac{πR^2}{360} ⋅ α\]

где \(R\) — радиус круга, \(α\) — угол сектора в градусах. Подставляем известные значения:

\[3π = \frac{π ⋅ 6^2}{360} ⋅ α\]\[3π = \frac{36π}{360} ⋅ α\]\[3π = \frac{π}{10} ⋅ α\]

Решаем уравнение относительно \(α\):

\[α = \frac{3π}{\frac{π}{10}} = 3π ⋅ \frac{10}{π} = 30\]

Угол сектора равен 30 градусам.

• Шаг 2: Находим площадь треугольника, образованного радиусами и хордой.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[S_{треуг.} = \frac{1}{2} ⋅ R^2 ⋅ sin(α)\]

Подставляем известные значения:

\[S_{треуг.} = \frac{1}{2} ⋅ 6^2 ⋅ sin(30°)\]\[S_{треуг.} = \frac{1}{2} ⋅ 36 ⋅ \frac{1}{2} = 9\]

• Шаг 3: Находим площадь сегмента.

Вычитаем площадь треугольника из площади сектора:

\[S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг.} = 3π - 9\]

Ответ: \(3π - 9\)