Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$24\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть дан квадрат. Окружность описана около квадрата, значит, все вершины квадрата лежат на окружности. Окружность вписана в квадрат, значит, она касается каждой стороны квадрата в одной точке. Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Пусть $$R$$ – радиус описанной окружности, а $$r$$ – радиус вписанной окружности. Пусть $$a$$ – сторона квадрата, а $$d$$ – диагональ квадрата. Тогда: $$R = \frac{d}{2}$$ $$r = \frac{a}{2}$$ Известно, что $$R = 24\sqrt{2}$$. Нужно найти $$r$$. Диагональ квадрата связана со стороной квадрата соотношением: $$d = a\sqrt{2}$$ Тогда: $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Выразим сторону квадрата $$a$$ через радиус описанной окружности $$R$$. $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}}$$ Подставим известное значение $$R$$. $$a = \frac{2 \cdot 24\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \cdot 24 = 48$$ Теперь найдем радиус вписанной окружности: $$r = \frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24$$ Ответ: 24