Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника – 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон мно- гоугольника.

1) Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник:

$$r = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности, $$a$$ - сторона многоугольника

В нашем случае $$R = 4$$ см, $$a = 4\sqrt{3}$$ см, тогда $$r = \sqrt{4^2 - \frac{(4\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{16 - \frac{16 \cdot 3}{4}} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$$ см

2) Количество сторон многоугольника:

$$\alpha = \arccos(\frac{r}{R}) = \arccos(\frac{2}{4}) = \arccos(\frac{1}{2}) = 60°$$

$$n = \frac{180°}{\alpha} = \frac{180°}{60°} = 3$$

Ответ: 1) 2 см; 2) 3