6. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника формулой: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$, где a – сторона треугольника. Нам известно, что $$r = 12.3$$ см. Выразим сторону треугольника: $$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 * 12.3}{\sqrt{3}} = \frac{73.8}{\sqrt{3}} = \frac{73.8\sqrt{3}}{3} = 24.6\sqrt{3}$$ Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Подставим найденное значение стороны: $$S = \frac{(24.6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{24.6^2 * 3 * \sqrt{3}}{4} = \frac{1814.52\sqrt{3}}{4} = 453.63\sqrt{3}$$ Ответ: Сторона треугольника равна $$24.6\sqrt{3}$$ см, площадь треугольника равна $$453.63\sqrt{3}$$ кв. см