Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями 16 см и 4 см. Вычисли радиус окружности, вписанной в трапецию. (Если необходимо, ответ округли до десятых.)

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить свойства равнобедренной трапеции и вписанной в нее окружности.

1. Свойство 1: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма ее боковых сторон равна сумме оснований.
2. Свойство 2: Если в трапецию вписана окружность, то ее высота равна диаметру окружности.

Пусть (a) и (b) - основания трапеции, (c) - боковая сторона, а (h) - высота. По условию, (a = 16) см и (b = 4) см.

Из свойства 1 следует, что (2c = a + b), откуда можно найти боковую сторону (c):

$$2c = 16 + 4$$ $$2c = 20$$ $$c = 10 ext{ см}$$

Теперь, чтобы найти высоту трапеции (и, следовательно, диаметр вписанной окружности), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть равна полуразности оснований:

$$\frac{a - b}{2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 ext{ см}$$

По теореме Пифагора, найдем высоту (h):

$$h^2 + (\frac{a - b}{2})^2 = c^2$$ $$h^2 + 6^2 = 10^2$$ $$h^2 + 36 = 100$$ $$h^2 = 64$$ $$h = 8 ext{ см}$$

Высота трапеции равна 8 см, значит, диаметр вписанной окружности также равен 8 см. Следовательно, радиус (r) окружности равен половине диаметра:

$$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4 ext{ см}$$

Ответ: 4