Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле \(\frac{a+b-c}{2}\), где \(a\) и \(b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза. Найди \(c\), если \(a = 30\), \(b = 10\) и \(r = 6\). Окружность описана около правильного треугольника \(ABC\). Найди градусную меру меньшей дуги \(AC\). Выбери верный вариант: 60°, 90°, 120°.

Первая часть задачи: Найдем гипотенузу \(c\) из формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: \[r = \frac{a + b - c}{2}\] Подставим известные значения: \(a = 30\), \(b = 10\), \(r = 6\). \[6 = \frac{30 + 10 - c}{2}\] Умножим обе части уравнения на 2: \[12 = 30 + 10 - c\] \[12 = 40 - c\] Теперь выразим \(c\): \[c = 40 - 12\] \[c = 28\] Теперь разберемся со второй частью задачи. Окружность описана около правильного треугольника \(ABC\). В правильном треугольнике все углы равны 60°. Угол \(B\) равен 60°. Меньшая дуга \(AC\) соответствует углу \(B\), который является вписанным углом. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга \(AC\) равна удвоенному углу \(B\). Дуга \(AC = 2 \cdot 60° = 120°\). Таким образом, градусная мера меньшей дуги \(AC\) равна 120°.