1. Расчет объема прямоугольного параллелепипеда: 1) Найдите длину нижнего ребра прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его объем равен 560 кубическим см, а площадь одной из его боковых граней равна 80 квадратным см. 2) Известно, что объем прямоугольного параллелепипеда равен 1920 кубическим см, а его длина и ширина в соотношении 3:4. Найдите высоту параллелепипеда. 2. Расчет объема куба: 1) Найдите длину ребра куба, объем которого в 27 раз больше объема куба с длиной ребра 3 см. 2) Дан куб, объем которого равен 1000 кубическим см. Найдите сумму площадей всех его граней.

Разберем каждую задачу по порядку: 1. Расчет объема прямоугольного параллелепипеда: 1) Известно, что объем прямоугольного параллелепипеда (V = 560) кубическим см, а площадь одной из его боковых граней (S = 80) квадратным см. Нужно найти длину нижнего ребра. Объем параллелепипеда можно выразить как (V = S_{осн} cdot h), где (S_{осн}) - площадь основания, а (h) - высота. В данном случае, боковая грань – это прямоугольник со сторонами (a) (длина нижнего ребра) и (h) (высота). Значит, (S = a cdot h = 80). Также мы знаем, что (V = a cdot h cdot b = 560), где (b) - ширина основания. Мы можем переписать объем как (V = S cdot b = 560), где S - это площадь боковой грани. Теперь найдем ширину (b): \[b = \frac{V}{S} = \frac{560}{80} = 7\] Так как площадь боковой грани (S = a cdot h), а мы ищем длину нижнего ребра (a), и мы знаем, что (S=80), то (a) может быть любым числом, если известно (h). В условии задачи сказано, что боковая грань (S=80) и она образована нижним ребром (b) и высотой (h), значит (b \cdot h = 80\), а так как (b = 7), то \[h = \frac{80}{7}\] Теперь можно выразить объем (V) как (V = a \cdot b \cdot h = 560\). Подставим известные значения (b) и (h): \[a \cdot 7 \cdot \frac{80}{7} = 560\] [a \cdot 80 = 560\] [a = \frac{560}{80} = 7\] Таким образом, длина нижнего ребра равна 7 см. 2) Известно, что объем параллелепипеда (V = 1920) кубическим см, длина и ширина основания относятся как 3:4. Пусть длина равна (3x), а ширина (4x). Тогда площадь основания (S_{осн} = 3x cdot 4x = 12x^2). Объем параллелепипеда (V = S_{осн} cdot h = 12x^2 cdot h = 1920). Выразим высоту (h) через (x): \[h = \frac{1920}{12x^2} = \frac{160}{x^2}\] К сожалению, без дополнительной информации о (x) или соотношениях сторон мы не можем найти конкретное значение высоты (h). 2. Расчет объема куба: 1) Объем маленького куба с ребром 3 см равен (V_1 = 3^3 = 27) кубических см. Объем большого куба в 27 раз больше, то есть (V_2 = 27 cdot V_1 = 27 cdot 27 = 729) кубических см. Длина ребра большого куба равна кубическому корню из его объема: \[a = \sqrt[3]{V_2} = \sqrt[3]{729} = 9\] Таким образом, длина ребра куба равна 9 см. 2) Дан куб, объем которого равен 1000 кубическим см. Найдем длину ребра куба: \[a = \sqrt[3]{1000} = 10\] Значит, ребро куба равно 10 см. Площадь одной грани куба равна (a^2 = 10^2 = 100) квадратным см. У куба 6 граней, поэтому суммарная площадь всех граней равна: \[S_{полн} = 6 cdot 100 = 600\] Таким образом, сумма площадей всех граней равна 600 квадратным см.