1. Расчет объема прямоугольного параллелепипеда: a. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота равны соответственно 6 см, 4 см и 5 см. б. Дан объем прямоугольного параллелепипеда равный 240 кубическим сантиметрам и его высота 8 см. Найдите длину основания параллелепипеда. 2. Расчет объема куба: a. Определите объем куба, если известно, что длина его ребра равна 10 см. б. Найдите длину ребра куба, объем которого равен 729 кубическим сантиметрам. 3. Сравнение объемов: Два куба имеют объемы 64 кубических см и 125 кубических см. Какой куб имеет большую площадь поверхности? Обоснуйте ответ. 4. Комбинированные задачи: a. В парке размещают кубические вазоны с растениями с ребром 20 см. Сколько воды необходимо, чтобы наполнить 8 таких вазонов? б. Постройте прямоугольный параллелепипед, объем которого равен 500 кубическим сантиметрам, а сумма длины, ширины и высоты минимальна.

1. Расчет объема прямоугольного параллелепипеда: a. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$V = a \cdot b \cdot c$$, где $$a$$ - длина, $$b$$ - ширина, $$c$$ - высота. В данном случае $$a = 6$$ см, $$b = 4$$ см, $$c = 5$$ см. Следовательно, объем равен: $$V = 6 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$ кубических сантиметров. Ответ: 120 куб. см б. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 куб. см, а высота 8 см. Нам нужно найти площадь основания. Так как $$V = S_{осн} \cdot h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания, а $$h$$ - высота, то $$S_{осн} = \frac{V}{h}$$. В нашем случае: $$S_{осн} = \frac{240}{8} = 30$$ квадратных сантиметров. Ответ: 30 кв. см 2. Расчет объема куба: a. Объем куба вычисляется по формуле: $$V = a^3$$, где $$a$$ - длина ребра куба. В данном случае $$a = 10$$ см. Следовательно, объем равен: $$V = 10^3 = 1000$$ кубических сантиметров. Ответ: 1000 куб. см б. Объем куба равен 729 куб. см. Нам нужно найти длину ребра куба. Так как $$V = a^3$$, то $$a = \sqrt[3]{V}$$. В нашем случае: $$a = \sqrt[3]{729} = 9$$ см. Ответ: 9 см 3. Сравнение объемов: Два куба имеют объемы 64 куб. см и 125 куб. см. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$, где $$a$$ - длина ребра куба. Найдем ребро каждого куба: Для первого куба: $$a_1 = \sqrt[3]{64} = 4$$ см. Площадь поверхности: $$S_1 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$$ кв. см. Для второго куба: $$a_2 = \sqrt[3]{125} = 5$$ см. Площадь поверхности: $$S_2 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$$ кв. см. Так как $$150 > 96$$, то куб объемом 125 куб. см имеет большую площадь поверхности. Ответ: Куб объемом 125 куб. см имеет большую площадь поверхности, так как длина его ребра больше. 4. Комбинированные задачи: a. В парке размещают кубические вазоны с ребром 20 см. Сколько воды необходимо, чтобы наполнить 8 таких вазонов? Объем одного вазона: $$V = a^3 = 20^3 = 8000$$ куб. см. Объем 8 вазонов: $$8 \cdot 8000 = 64000$$ куб. см. Так как 1 литр = 1000 куб. см, то $$64000$$ куб. см = $$64$$ литра. Ответ: 64 литра б. Постройте прямоугольный параллелепипед, объем которого равен 500 кубическим сантиметрам, а сумма длины, ширины и высоты минимальна. Чтобы сумма длин была минимальна, параллелепипед должен быть максимально приближен к кубу. Найдем приближенное значение ребра куба: $$\sqrt[3]{500} \approx 7.94$$ см. Чтобы получить объем 500, можно взять, например, следующие размеры: длина = 5 см, ширина = 10 см, высота = 10 см. Тогда $$5 \cdot 10 \cdot 10 = 500$$ куб. см. И сумма будет $$5 + 10 + 10 = 25$$ см. Другой вариант: длина = 4 см, ширина = 5 см, высота = 25 см. Тогда $$4 \cdot 5 \cdot 25 = 500$$ куб. см. И сумма будет $$4 + 5 + 25 = 34$$ см. Чтобы найти минимальную сумму, нужно, чтобы размеры были как можно ближе к кубу. Разложим 500 на простые множители: $$500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^3$$. Попробуем подобрать близкие значения: $$5 \cdot 5 \cdot 20 = 500$$, сумма $$5 + 5 + 20 = 30$$. $$4 \cdot 5 \cdot 25 = 500$$, сумма $$4 + 5 + 25 = 34$$. $$5 \cdot 10 \cdot 10 = 500$$, сумма $$5 + 10 + 10 = 25$$. Ответ: Один из возможных вариантов: длина = 5 см, ширина = 10 см, высота = 10 см.