Ответ:

  1. Старуха, перебирая лекарственные травы, рассказывала о своей жизни, и дети, затаив дыхание, слушали её. Деепричастный оборот обособляется. Запятая перед «и» разделяет части сложного предложения с разными подлежащими. В слове «лекарственные» пишется одна Н: суффикс прилагательного -енн- здесь не используется; слово образовано от существительного «лекарство» суффиксом -н-.
  2. День выдался ветреным, и прогулку, естественно, пришлось отменить. Запятая перед «и» разделяет части сложного предложения. «Естественно» — вводное слово. В слове «ветреный» одна Н — исключение из правила о написании НН в отглагольных прилагательных.
  3. В конце парка росли кипарисы и начинали зацветать магнолии. Запятая не нужна: однородные сказуемые относятся к общему обстоятельству «в конце парка» и соединены одиночным союзом «и».
  4. Несмотря на наличие карты, кучер заблудился и заехал аж к торфяным болотам. Оборот с предлогом «несмотря на» обособляется. Сказуемые «заблудился» и «заехал» однородные, поэтому запятая между ними не нужна. В прилагательном «торфяной» пишется одна Н.
  5. Траурный митинг, посвящённый памяти павших, закончился, и солдаты разошлись по казармам. Причастный оборот после определяемого слова обособляется. Запятая перед «и» разделяет части сложного предложения. В полном страдательном причастии «посвящённый» пишется НН.
  6. Асфальтированная дорога лентой бежала вдоль реки и исчезала из виду только на горизонте. Запятая не нужна: однородные сказуемые относятся к общему подлежащему. В слове «асфальтированный» пишется НН.
  7. Мой отец, участник Финской войны, тоже пришёл в регистрационный центр, и председатель, разумеется, встретил его чрезвычайно вежливо. Приложение «участник Финской войны» и вводное слово «разумеется» обособляются. Запятая перед «и» разделяет части сложного предложения. «Тоже» пишется слитно в значении «также»; «регистрационный» — с НН.
  8. На столе Пушкина лежали гусиные перья и стояла стеклянная баночка с чернилами. Запятая не нужна: у двух однородных сказуемых есть общее обстоятельство «на столе Пушкина». В слове «гусиный» одна Н; «стеклянный» — исключение, пишется НН.