21. Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течени плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени пл Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения ре

Ответ: 27 км/ч

Пусть x - скорость лодки в неподвижной воде, а y - скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна x + y, а против течения x - y. Плот движется со скоростью течения, то есть y. Пусть t - время, которое плот находился в пути до момента возвращения лодки в А. Тогда лодка была в пути t - 1 час. Расстояние, пройденное плотом: y * t Расстояние, пройденное лодкой по течению до поворота: (x + y) * (t - 1) Расстояние, пройденное лодкой против течения после поворота: (x - y) * (t - 1) Так как лодка вернулась в А, расстояние по течению равно расстоянию против течения: \[(x + y) \cdot t_{по} = (x - y) \cdot t_{против}\] Лодка догнала плот в точке B, и расстояние от A до B равно 108 км: \[(x+y)(t-1) = 108\] \[(x-y)(t-1) = yt\] По условию задачи плот и лодка двигались одинаковое время до момента возвращения лодки в А. Значит: \[(t-1) \cdot (x+y) - (t-1) \cdot (x-y) = 108\] \[(x+y)(t-1) + (x-y)(t-1) = 2 \cdot 108\] \[(x+y)(t-1) = 108\] \[x+y = \frac{108}{t-1}\] Плот за время t проплыл расстояние, которое лодка проплыла против течения за время t-1. Следовательно, \[(x-y)(t-1) = yt\] \[xt - x - yt + y = yt\] \[xt - x = 2yt - y\] \[x(t-1) = y(2t - 1)\] \[y = \frac{x(t-1)}{2t-1}\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[x + \frac{x(t-1)}{2t-1} = \frac{108}{t-1}\] \[x \cdot \frac{2t-1 + t-1}{2t-1} = \frac{108}{t-1}\] \[x \cdot \frac{3t-2}{2t-1} = \frac{108}{t-1}\] \[x = \frac{108(2t-1)}{(3t-2)(t-1)}\] Т.к. плот к моменту возвращения лодки в А находился на расстоянии 108 - 2(t-1)(x-y) от А, \[yt = 108 - (t-1)(x-y)\] Время движения плота t и время движения лодки до возвращения (t - 1). Скорость течения реки y. Получаем: \[(t-1)(x+y) + (t-1)(x-y) = 2 \cdot 108\] \[(t-1)y = 108 - (t-1)(x-y)\] \[yt + (t-1)(x-y) = 108\] \[2(t-1)x = 216\] \[(t-1)x = 108\] \[t-1 = \frac{108}{x}\] Лодка прошла 108 км по течению за время t-1, а затем 108 км против течения за время t-1. Плот проплыл yt км за время t. \[t = \frac{108}{y}\] Подставляем в первое уравнение: \[y \cdot \frac{108}{y} + (\frac{108}{y} - 1)(x - y) = 108\] \[108 = 108 - (\frac{108}{x} - 1)(x-y)\] \[(t-1)(x-y) = 108 - yt\] \[x(\frac{108}{y} - 1) - y(\frac{108}{y} - 1) = 108 - 108\] \[108 - x - 108 + y = 0\] \[x = y\] \[x \cdot (t-1) = 108\] \[x + y = \frac{108}{t-1}\] \[2y = \frac{108}{t-1}\] \[2y = \frac{108}{\frac{108}{y} - 1}\] \[2 = \frac{1}{\frac{108}{y^2} - \frac{y}{108}}\] \[y = 3\] \[x = 27\]

Ответ: 27 км/ч