15) Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 33 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $$v$$ – скорость лодки в неподвижной воде. Пусть $$t$$ – время, которое плот был в пути. Тогда $$t = \frac{33}{3} = 11$$ часов. Лодка была в пути $$t-1 = 10$$ часов. Пусть $$t_1$$ – время, которое лодка плыла из A в B, а $$t_2$$ – время, которое лодка плыла из B в A. Тогда $$t_1 + t_2 = 10$$. Расстояние между A и B равно 72 км. Значит, $$t_1(v+3) = 72$$ и $$t_2(v-3) = 72$$. $$t_1 = \frac{72}{v+3}$$ и $$t_2 = \frac{72}{v-3}$$. Подставляем в уравнение $$t_1 + t_2 = 10$$: $$\frac{72}{v+3} + \frac{72}{v-3} = 10$$ Умножаем обе части на $$(v+3)(v-3)$$: $$72(v-3) + 72(v+3) = 10(v^2-9)$$ $$72v - 216 + 72v + 216 = 10v^2 - 90$$ $$144v = 10v^2 - 90$$ $$10v^2 - 144v - 90 = 0$$ $$5v^2 - 72v - 45 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$$ $$v_1 = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15$$ $$v_2 = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$ (не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной). Скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.