525 Расстояние от точки M, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой AB равно 6 см, а до прямой AC равно 2 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BC, если AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см.

Обозначим расстояние от точки M до прямой BC как h. Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1) Используя формулу Герона (как в предыдущей задаче), так как известны все три стороны треугольника: AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см.

Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см

Площадь: $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \text{ см}^2$$

2) Как сумму площадей трех треугольников: AMB, AMC и BMC, где M - внутренняя точка.

Площадь AMB = (1/2) * AB * 6 = (1/2) * 13 * 6 = 39 см²

Площадь AMC = (1/2) * AC * 2 = (1/2) * 15 * 2 = 15 см²

Площадь BMC = (1/2) * BC * h = (1/2) * 14 * h = 7h см²

Сумма площадей: S = 39 + 15 + 7h = 54 + 7h см²

Приравниваем площади, вычисленные разными способами:

84 = 54 + 7h

7h = 30

h = 30 / 7 ≈ 4.29 см

Ответ: \(\frac{30}{7}\) см