23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно $$3\sqrt{2}$$, а одна из диагоналей ромба равна $$12\sqrt{2}$$. Найди углы ромба. В ответ запиши получившиеся значения в порядке возрастания без пробелов через «;». Например: 10;10;170;170

Пусть дан ромб ABCD, O - точка пересечения диагоналей. Расстояние от точки O до стороны AB равно $$3\sqrt{2}$$. Одна из диагоналей, например, AC равна $$12\sqrt{2}$$. Так как диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то AO = $$\frac{1}{2}AC = 6\sqrt{2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где OB - это высота, опущенная на сторону AB. Площадь треугольника AOB можно найти двумя способами: 1. $$S_{AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot OB = 3\sqrt{2}OB$$ 2. $$S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot h$$, где h - расстояние от точки O до AB, то есть $$3\sqrt{2}$$. Значит, $$S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot 3\sqrt{2}$$ Приравниваем выражения для площади: $$3\sqrt{2}OB = \frac{1}{2} AB \cdot 3\sqrt{2}$$ $$OB = \frac{1}{2} AB$$ Так как $$AB^2 = AO^2 + OB^2$$, то $$AB^2 = (6\sqrt{2})^2 + (\frac{1}{2}AB)^2$$ $$AB^2 = 72 + \frac{1}{4}AB^2$$ $$\frac{3}{4}AB^2 = 72$$ $$AB^2 = 96$$ $$AB = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$ Тогда $$OB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$$ Теперь найдем тангенс угла OAB: $$tg(\angle OAB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$. Значит, $$\angle OAB = 30^{\circ}$$. $$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $$180^{\circ}$$, то второй угол равен $$180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$. Итак, углы ромба равны $$60^{\circ}$$ и $$120^{\circ}$$. Записываем в порядке возрастания: 60;120