Равнобедренная трапеция имеет площадь 2000 см², а её периметр равен 200 см. В данную трапецию можно вписать окружность. Найди расстояние от меньшего основания до точки пересечения диагоналей трапеции.

Решение: 1. Обозначения: Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AD и BC - основания, а AB = CD - боковые стороны. Пусть AD > BC. 2. Условие вписанной окружности: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон, то есть AD + BC = AB + CD. Так как трапеция равнобедренная, AB = CD, поэтому AD + BC = 2AB. 3. Использование периметра: Периметр трапеции равен P = AD + BC + AB + CD = 200 см. Учитывая, что AD + BC = 2AB, получаем 2AB + 2AB = 200, следовательно, 4AB = 200, и AB = 50 см. 4. Сумма оснований: AD + BC = 2AB = 2 * 50 = 100 см. 5. Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле S = $$\frac{AD + BC}{2} * h$$, где h - высота трапеции. Известно, что S = 2000 см². Тогда 2000 = $$\frac{100}{2} * h$$, следовательно, 2000 = 50h, и h = 40 см. 6. Высота и радиус вписанной окружности: Так как в трапецию вписана окружность, ее высота равна двум радиусам этой окружности, то есть h = 2r. Следовательно, r = $$\frac{h}{2}$$ = $$\frac{40}{2}$$ = 20 см. 7. Поиск расстояния от меньшего основания до точки пересечения диагоналей: Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции. Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Они подобны по двум углам (углы при основаниях равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). Коэффициент подобия k = $$\frac{BC}{AD}$$. Высота трапеции равна h = 40 см. Пусть h1 - высота треугольника BOC, а h2 - высота треугольника DOA. Тогда h1 + h2 = h = 40 см. Так как треугольники подобны, $$\frac{h1}{h2}$$ = k = $$\frac{BC}{AD}$$. Выразим AD через BC: AD = 100 - BC. Тогда k = $$\frac{BC}{100 - BC}$$. Также, $$\frac{h1}{40 - h1}$$ = $$\frac{BC}{100 - BC}$$. 8. Использование свойства равнобедренной трапеции и вписанной окружности: Для равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, выполняется соотношение: h = 2r = $$\sqrt{AD * BC}$$. Тогда 40 = $$\sqrt{AD * BC}$$, следовательно, 1600 = AD * BC. Подставим AD = 100 - BC: 1600 = (100 - BC) * BC, BC² - 100BC + 1600 = 0. Решим квадратное уравнение относительно BC: D = 100² - 4 * 1600 = 10000 - 6400 = 3600. $$\sqrt{D}$$ = 60. BC1 = $$\frac{100 + 60}{2}$$ = 80, BC2 = $$\frac{100 - 60}{2}$$ = 20. Если BC = 80, то AD = 100 - 80 = 20 (что противоречит условию AD > BC). Значит, BC = 20, AD = 80. 9. Вычисление h1: k = $$\frac{20}{80}$$ = $$\frac{1}{4}$$. $$\frac{h1}{40 - h1}$$ = $$\frac{1}{4}$$, 4h1 = 40 - h1, 5h1 = 40, h1 = 8 см. 10. Ответ: Расстояние от меньшего основания до точки пересечения диагоналей трапеции равно 8 см.