Равнобедренный треугольник: найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где угол B равен 120°, а основание AC равно 36 см. Нам нужно найти высоту, проведённую к боковой стороне AB. Обозначим эту высоту как BH. 1. **Найдем углы при основании.** Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, углы A и C равны: \( \angle A = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \) 2. **Выразим высоту из площади треугольника.** Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: через основание и высоту, проведённую к нему, и через две стороны и угол между ними. * Площадь через основание AC и высоту, проведённую к нему (обозначим её BE): \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE \) * Площадь через стороны AB и BC (они равны) и угол между ними (угол B): \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(120°) = \frac{1}{2} \cdot AB^2 \cdot \sin(120°) \) 3. **Найдем высоту BE, проведенную к основанию.** Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. \( \sin(\angle A) = \frac{BE}{AB} \) \( \sin(30°) = \frac{BE}{AB} \) \( BE = AB \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} AB \) 4. **Выразим AB через AC.** Воспользуемся теоремой синусов: \( \frac{AC}{\sin(120°)} = \frac{AB}{\sin(30°)} \) \( AB = \frac{AC \cdot \sin(30°)}{\sin(120°)} = \frac{36 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \) 5. **Найдем BE.** \( BE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) 6. **Приравняем площади и найдем BH.** \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH \) \( 36 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \cdot BH \) \( BH = \frac{36 \cdot 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = \frac{36 \cdot 6}{12} = 3 \cdot 6 = 18 \) **Ответ:** 18 см