Равносильны ли уравнения: 1) x + 6 = 10 и 2x − 1 = 7; 2) x² = x и x = 1; 3) x² + 1 = 0 и 3/(x − 1) = 0; 4) (x + 1)/(x + 1) = 1 и (x² + 1)/(x² + 1) = 1?

Найдём множества корней каждой пары. Уравнения равносильны, если эти множества совпадают.

1. x + 6 = 10 ⇒ x = 4. 2x − 1 = 7 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4. Корни совпадают.

2. x² = x ⇒ x(x − 1) = 0, поэтому x = 0 или x = 1. Уравнение x = 1 имеет только корень 1. Корни не совпадают.

3. x² + 1 = 0 не имеет действительных корней, поскольку x² ≥ 0. Уравнение 3/(x − 1) = 0 также не имеет корней: числитель равен 3, а дробь не определена при x = 1 и не может быть нулём. Множества корней совпадают.

4. (x + 1)/(x + 1) = 1 при x ≠ −1, поэтому множество корней — все действительные числа, кроме −1. Во втором уравнении x² + 1 всегда положительно, и дробь равна 1 при всех действительных x. Множества корней различаются.

Ответ: равносильны уравнения в пунктах 1 и 3.