14 Различные точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок АВ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. а) Докажите, что cos ZASC + cos ∠BSC = 1,5. б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, cos LASC 2 = 2-3

Пусть точка О - центр основания конуса.

Так как АВ - диаметр, то угол АСВ прямой (опирается на диаметр).

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°, значит, угол SAO = 60°.

Тогда высота конуса SO = AO * tg(60°) = R * √3, где R - радиус основания конуса.

а) Докажите, что cos ∠ASC + cos ∠BSC = 1,5.

В треугольнике ASC: AC = 2 * R * sin(∠ABC), где ∠ABC - угол между хордой AC и диаметром AB.

SC = √(SO² + OC²) = √(3R² + R²) = 2R

По теореме косинусов: AC² = AS² + SC² - 2 * AS * SC * cos(∠ASC)

(2R * sin(∠ABC))² = AS² + (2R)² - 2 * AS * 2R * cos(∠ASC)

Аналогично в треугольнике BSC: BC = 2 * R * cos(∠ABC)

По теореме косинусов: BC² = BS² + SC² - 2 * BS * SC * cos(∠BSC)

(2R * cos(∠ABC))² = BS² + (2R)² - 2 * BS * 2R * cos(∠BSC)

AS = BS (образующие конуса)

Сложим два уравнения:

4R² * (sin²(∠ABC) + cos²(∠ABC)) = 2AS² + 8R² - 4 * AS * R * (cos(∠ASC) + cos(∠BSC))

4R² = 2AS² + 8R² - 4 * AS * R * (cos(∠ASC) + cos(∠BSC))

Так как угол между образующей и основанием 60°, то AS = 2R

4R² = 2 * (2R)² + 8R² - 4 * 2R * R * (cos(∠ASC) + cos(∠BSC))

4R² = 8R² + 8R² - 8R² * (cos(∠ASC) + cos(∠BSC))

-12R² = -8R² * (cos(∠ASC) + cos(∠BSC))

cos(∠ASC) + cos(∠BSC) = 12/8 = 1.5

б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, cos ∠ASC = 2/3.

SC = 1, следовательно R = 0.5

SO = R * √3 = 0.5 * √3

Площадь треугольника ABC: S = 0.5 * AC * BC = 0.5 * (2R * sin(∠ABC)) * (2R * cos(∠ABC)) = R² * sin(2∠ABC)

Максимальная площадь достигается, когда ∠ABC = 45°, тогда S = R² = 0.25

Объём тетраэдра SABC: V = (1/3) * SO * S = (1/3) * (0.5 * √3) * 0.25 = √3 / 24

Ответ: б) √3 / 24