Разложи по формуле Ньютона-Лейбница интеграл.

Решение:

Чтобы разложить интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, сначала найдём первообразную для функции \( x^3 + 2x^2 \).

Первообразная для \( x^3 \) равна \( \frac{x^4}{4} \).

Первообразная для \( 2x^2 \) равна \( \frac{2x^3}{3} \).

Следовательно, первообразная для \( x^3 + 2x^2 \) равна \( \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{1}^{2} (x^3 + 2x^2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_{1}^{2} \]\[ = \left( \frac{2^4}{4} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) \]\[ = \left( \frac{16}{4} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) \]\[ = \left( 4 + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) \]\[ = 4 + \frac{16}{3} - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \]\[ = 4 + \frac{14}{3} - \frac{1}{4} \]\[ = \frac{48}{12} + \frac{56}{12} - \frac{3}{12} = \frac{48 + 56 - 3}{12} = \frac{101}{12} \]

Ответ: \( \frac{101}{12} \)