Вычисли значение интеграла.

Решение:

Чтобы вычислить определённый интеграл, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \).

Первообразная для \( \sin x \) — это \( -\cos x \).

Первообразная для \( 2\cos x \) — это \( 2\sin x \).

Таким образом, первообразная для \( \sin x + 2\cos x \) равна \( -\cos x + 2\sin x \).

Теперь вычислим значение интеграла:

\[ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\sin x + 2\cos x) dx = \left[ -\cos x + 2\sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \]\[ = \left( -\cos \pi + 2\sin \pi \right) - \left( -\cos \frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{\pi}{2} \right) \]\[ = \left( -(-1) + 2 \cdot 0 \right) - \left( -0 + 2 \cdot 1 \right) \]\[ = (1 + 0) - (0 + 2) \]\[ = 1 - 2 = -1 \]

Ответ: -1