Разложи по некомпланарным векторам следующие векторы: 1. $$\vec{AC}$$ = ? $$\vec{a}$$ + ? $$\vec{b}$$ + ? $$\vec{c}$$; 2. $$\vec{BM}$$ = ? $$\vec{a}$$ + ? $$\vec{b}$$ + ? $$\vec{c}$$; 3. $$\vec{DK}$$ = ? $$\vec{a}$$ + ? $$\vec{b}$$ + ? $$\vec{c}$$.

Рассмотрим разложение векторов, используя предоставленные данные о правильном тетраэдре и векторах $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, и $$\vec{c}$$.

1. Разложение вектора $$\vec{AC}$$:

   Вектор $$\vec{AC}$$ можно представить как сумму векторов $$\vec{AD}$$ + $$\vec{DC}$$. Так как $$\vec{AD} = \vec{a}$$ и $$\vec{DB} = \vec{b}$$, а $$\vec{DC} = -\vec{c}$$, то $$\vec{AC}$$ = -$$\vec{a}$$ -$$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$

   $$\vec{AC} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$$

2. Разложение вектора $$\vec{BM}$$:

   Так как M - середина отрезка AC, то $$\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC}$$. А так как $$\vec{AC} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$$ (как определили ранее), то $$\vec{AM} = \frac{1}{2}(-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$$. Теперь выразим $$\vec{BM}$$ через $$\vec{BA} + \vec{AM}$$. Учитывая, что $$\vec{BA} = -\vec{b}$$, получим: $$\vec{BM} = - \vec{b} + \frac{1}{2} ( -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) = -\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$$.

   $$\vec{BM} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$

3. Разложение вектора $$\vec{DK}$$:

   Так как K - середина отрезка BC, то $$\vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC}$$. А $$\vec{BC}$$ = -$$\vec{b}$$ + $$\vec{c}$$ , то $$\vec{BK}$$ = $$\frac{1}{2}(-\vec{b} + \vec{c})$$. Теперь выразим $$\vec{DK}$$ через $$\vec{DB} + \vec{BK}$$. $$\vec{DK} = \vec{DB} + \vec{BK} = \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$.

   $$\vec{DK} = 0\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$

Ответ:

1. $$\vec{AC} = -1\vec{a} -1\vec{b} + 1\vec{c}$$
2. $$\vec{BM} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$
3. $$\vec{DK} = 0\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$