Разложение на множители выражения

Для разложения выражения $$8a^3 - 27b^3 + 4a^2 - 12ab + 9b^2$$ на множители, необходимо внимательно проанализировать его структуру и применить подходящие методы. В данном случае, мы видим комбинацию кубов и квадратов, что может навести на мысль об использовании формул сокращенного умножения.

Шаг 1: Группировка и выявление формул

Сгруппируем первые два члена и последние три члена:

$$ (8a^3 - 27b^3) + (4a^2 - 12ab + 9b^2) $$

Заметим, что $$8a^3 = (2a)^3$$ и $$27b^3 = (3b)^3$$. Также, $$4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$$.

Шаг 2: Применение формул сокращенного умножения

Используем формулу разности кубов: $$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$$.

В нашем случае, $$A = 2a$$ и $$B = 3b$$, поэтому:

$$ (2a)^3 - (3b)^3 = (2a - 3b)((2a)^2 + (2a)(3b) + (3b)^2) = (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) $$

Также у нас есть $$4a^2 - 12ab + 9b^2$$, что является полным квадратом: $$(2a - 3b)^2$$.

Шаг 3: Подстановка и упрощение

Подставим полученные выражения обратно в исходное выражение:

$$ (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (2a - 3b)^2 $$

Теперь вынесем общий множитель $$(2a - 3b)$$ за скобки:

$$ (2a - 3b)[(4a^2 + 6ab + 9b^2) + (2a - 3b)] $$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$$ (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b) $$

Таким образом, получаем окончательное разложение на множители:

$$ (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b) $$

Ответ:

$$(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2 + 2a - 3b)$$