Решение:

1. $$x^2 - 6x - 27$$ Ищем корни квадратного уравнения $$x^2 - 6x - 27 = 0$$. Дискриминант $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$$. Корни: $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9$$, $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{6 - 12}{2} = -3$$. Разложение на множители: $$(x - 9)(x + 3)$$.
2. $$4x^2 - x - 5$$ Ищем корни квадратного уравнения $$4x^2 - x - 5 = 0$$. Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$$. Корни: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{8} = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{8} = \frac{1 - 9}{8} = -1$$. Разложение на множители: $$4(x - \frac{5}{4})(x + 1) = (4x - 5)(x + 1)$$.
3. $$x^2 - 12x + 40$$ Ищем корни квадратного уравнения $$x^2 - 12x + 40 = 0$$. Дискриминант $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 144 - 160 = -16$$. Так как дискриминант отрицательный, у квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, многочлен $$x^2 - 12x + 40$$ нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами.
4. $$\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$$ Разложим числитель на множители. Ищем корни квадратного уравнения $$x^2 - x - 6 = 0$$. Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$. Корни: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$$. Разложение на множители: $$(x - 3)(x + 2)$$. Тогда $$\frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2$$.
5. $$\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}$$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $$36a^2 - 12a + 1 = (6a - 1)^2$$. Знаменатель: $$6a^2 + 11a - 2$$. Ищем корни квадратного уравнения $$6a^2 + 11a - 2 = 0$$. Дискриминант $$D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169$$. Корни: $$a_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{12} = \frac{-11 + 13}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$, $$a_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{12} = \frac{-11 - 13}{12} = \frac{-24}{12} = -2$$. Разложение на множители: $$6(a - \frac{1}{6})(a + 2) = (6a - 1)(a + 2)$$. Тогда $$\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2} = \frac{(6a - 1)^2}{(6a - 1)(a + 2)} = \frac{6a - 1}{a + 2}$$.

Ответы:

1. $$(x - 9)(x + 3)$$
2. $$(4x - 5)(x + 1)$$
3. Нельзя разложить на множители.
4. $$x + 2$$
5. $$\frac{6a - 1}{a + 2}$$