Разложите квадратный трехчлен на множители: a) t² – 10t + 25; б) х² – 3x – 10; в) 3х2 – 8x + 5; г) 2x + 8 - x²; д) 16х2 – 9; e) -5a² + 8a.

Ответ: a) (t - 5)², б) (x - 5)(x + 2), в) (3x - 5)(x - 1), г) -(x - 4)(x + 2), д) (4x - 3)(4x + 3), e) a(8 - 5a)

Пошаговое решение:

a) \( t^2 - 10t + 25 \)

Это полный квадрат: \( (t - 5)^2 \)

б) \( x^2 - 3x - 10 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)

Корни: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2 \)

Разложение: \( (x - 5)(x + 2) \)

в) \( 3x^2 - 8x + 5 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 - 8x + 5 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4 \)

Корни: \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{6} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3} \), \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{6} = \frac{8 - 2}{6} = 1 \)

Разложение: \( 3(x - \frac{5}{3})(x - 1) = (3x - 5)(x - 1) \)

г) \( 2x + 8 - x^2 = -x^2 + 2x + 8 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \)

Корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{-2} = \frac{-2 + 6}{-2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{-2} = \frac{-2 - 6}{-2} = 4 \)

Разложение: \( -(x + 2)(x - 4) = -(x - 4)(x + 2) \)

д) \( 16x^2 - 9 \)

Это разность квадратов: \( (4x - 3)(4x + 3) \)

e) \( -5a^2 + 8a \)

Вынесем \( a \) за скобки: \( a(8 - 5a) \)

Ответ: a) (t - 5)², б) (x - 5)(x + 2), в) (3x - 5)(x - 1), г) -(x - 4)(x + 2), д) (4x - 3)(4x + 3), e) a(8 - 5a)