Разложение на множители

Для решения данной задачи необходимо разложить на множители каждое из выражений.

1) $$m^2 - n^2 - m + n$$

1. Сгруппируем члены: $$(m^2 - n^2) - (m - n)$$
2. Разложим разность квадратов: $$(m - n)(m + n) - (m - n)$$
3. Вынесем общий множитель $$(m - n)$$: $$(m - n)(m + n - 1)$$

Ответ: $$(m - n)(m + n - 1)$$

2) $$c + d - c^2 + d^2$$

Нельзя разложить на множители, так как нет общих множителей и известных формул.

3) $$16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y$$

1. Представим $$16x^2 - 25y^2$$ как разность квадратов: $$(4x)^2 - (5y)^2 - (4x + 5y)$$
2. Разложим разность квадратов: $$(4x - 5y)(4x + 5y) - (4x + 5y)$$
3. Вынесем общий множитель $$(4x + 5y)$$: $$(4x + 5y)(4x - 5y - 1)$$

Ответ: $$(4x + 5y)(4x - 5y - 1)$$

4) $$12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2$$

Нельзя разложить на множители, так как нет общих множителей и известных формул.

5) $$49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a$$

1. Заметим, что $$49c^2 - 14c + 1 = (7c - 1)^2$$
2. Перепишем выражение: $$(7c - 1)^2 - 3a(7c - 1)$$
3. Вынесем общий множитель $$(7c - 1)$$: $$(7c - 1)(7c - 1 - 3a)$$

Ответ: $$(7c - 1)(7c - 1 - 3a)$$

6) $$ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4$$

1. Заметим, что $$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$$
2. Перепишем выражение: $$a(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2$$
3. Вынесем общий множитель $$(x^2 + y^2)$$: $$(x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)$$

Ответ: $$(x^2 + y^2)(a + x^2 + y^2)$$

7) $$27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2$$

1. Заметим, что $$27c^3 - d^3 = (3c)^3 - d^3 = (3c - d)(9c^2 + 3cd + d^2)$$
2. Перепишем выражение: $$(3c - d)(9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2)$$
3. Вынесем общий множитель $$(9c^2 + 3cd + d^2)$$: $$(9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$$

Ответ: $$(9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$$

8) $$b^3 - 2b^2 - 2b + 1$$

Сгруппируем и вынесем множители:

1. Сгруппируем: $$(b^3 + 1) - (2b^2 + 2b)$$
2. Разложим сумму кубов: $$(b + 1)(b^2 - b + 1) - 2b(b + 1)$$
3. Вынесем общий множитель $$(b + 1)$$: $$(b + 1)(b^2 - b + 1 - 2b)$$
4. Упростим: $$(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$$

Ответ: $$(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$$