Разложите на множители: 60 y² - 20 y - 5.

Решение:

Для разложения на множители вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для коэффициентов 60, -20 и -5 равен 5.

\( 60 y^2 - 20y - 5 = 5(12y^2 - 4y - 1) \)

Теперь разложим квадратный трёхчлен \( 12y^2 - 4y - 1 \) на множители. Для этого найдём корни уравнения \( 12y^2 - 4y - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 \]

Корни уравнения:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} \]

Теперь разложим трёхчлен на множители по формуле \( a(y - y_1)(y - y_2) \):

\[ 12 \left( y - \frac{1}{2} \right) \left( y - \left(-\frac{1}{6}\right) \right) = 12 \left( y - \frac{1}{2} \right) \left( y + \frac{1}{6} \right) \]

Теперь вернемся к исходному выражению:

\[ 5 \cdot 12 \left( y - \frac{1}{2} \right) \left( y + \frac{1}{6} \right) = 60 \left( y - \frac{1}{2} \right) \left( y + \frac{1}{6} \right) \]

Можно также записать ответ, используя целые числа:

\[ 60 \left( \frac{2y - 1}{2} \right) \left( \frac{6y + 1}{6} \right) = 60 \frac{(2y - 1)(6y + 1)}{12} = 5(2y - 1)(6y + 1) \]

Ответ: 5(12y² - 4y - 1) или 5(2y - 1)(6y + 1).