Разложите на множители выражения, используя формулу суммы или разности кубов. a) $$\frac{1}{8} - a^3$$; б) $$125 + b^3$$; в) $$a^3 + b^6$$; г) $$1 - 64a^3$$.

Давайте разложим каждое выражение на множители, используя формулы суммы и разности кубов.

a) $$\frac{1}{8} - a^3$$

Это разность кубов, где $$\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$$. Формула разности кубов: $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$.

В нашем случае $$x = \frac{1}{2}$$ и $$y = a$$. Применяем формулу:

$$\frac{1}{8} - a^3 = \left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}a + a^2\right) = \left(\frac{1}{2} - a\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a + a^2\right)$$.

б) $$125 + b^3$$

Это сумма кубов, где $$125 = 5^3$$. Формула суммы кубов: $$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$.

В нашем случае $$x = 5$$ и $$y = b$$. Применяем формулу:

$$125 + b^3 = (5 + b)(5^2 - 5b + b^2) = (5 + b)(25 - 5b + b^2)$$.

в) $$a^3 + b^6$$

Это сумма кубов, где $$b^6 = (b^2)^3$$. Формула суммы кубов: $$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$.

В нашем случае $$x = a$$ и $$y = b^2$$. Применяем формулу:

$$a^3 + b^6 = (a + b^2)(a^2 - ab^2 + (b^2)^2) = (a + b^2)(a^2 - ab^2 + b^4)$$.

г) $$1 - 64a^3$$

Это разность кубов, где $$64a^3 = (4a)^3$$. Формула разности кубов: $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$.

В нашем случае $$x = 1$$ и $$y = 4a$$. Применяем формулу:

$$1 - 64a^3 = (1 - 4a)(1^2 + 1 cdot 4a + (4a)^2) = (1 - 4a)(1 + 4a + 16a^2)$$.

Итоговые ответы:

a) $$(\frac{1}{2} - a)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a + a^2)$$.

б) $$(5 + b)(25 - 5b + b^2)$$.

в) $$(a + b^2)(a^2 - ab^2 + b^4)$$.

г) $$(1 - 4a)(1 + 4a + 16a^2)$$.