Разложите на множители: $$(y^6 + u^6)^2 - (y^6 - u^6)^2 - y^2u^2$$. (Может быть несколько вариантов ответа! Выберите все возможные варианты, которые могут получиться.)

Привет, ребята! Давайте разложим это выражение на множители. Начнем с упрощения выражения: $$(y^6 + u^6)^2 - (y^6 - u^6)^2 - y^2u^2$$ Мы видим разность квадратов в первой части выражения: $$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$. Применим эту формулу, где $$a = (y^6 + u^6)$$ и $$b = (y^6 - u^6)$$. Тогда: $$(y^6 + u^6)^2 - (y^6 - u^6)^2 = [(y^6 + u^6) - (y^6 - u^6)][(y^6 + u^6) + (y^6 - u^6)]$$ Упростим скобки: $$= [y^6 + u^6 - y^6 + u^6][y^6 + u^6 + y^6 - u^6]$$ $$= [2u^6][2y^6] = 4y^6u^6$$ Теперь вернемся к исходному выражению: $$4y^6u^6 - y^2u^2$$ Вынесем $$y^2u^2$$ за скобки: $$y^2u^2(4y^4u^4 - 1)$$ Теперь рассмотрим выражение в скобках: $$4y^4u^4 - 1$$. Это снова разность квадратов, где $$(2y^2u^2)^2 - 1^2$$. Применим формулу разности квадратов: $$4y^4u^4 - 1 = (2y^2u^2 - 1)(2y^2u^2 + 1)$$ Подставим это обратно в наше выражение: $$y^2u^2(2y^2u^2 - 1)(2y^2u^2 + 1)$$ Таким образом, один из вариантов ответа - $$y^2u^2 \cdot (4y^4u^4 - 1)$$. Сравним этот результат с предложенными вариантами ответов, и становится ясно, что верный ответ - $$y^2u^2 \cdot (4y^4u^4 - 1)$$. Другие варианты можно получить, разложив выражение дальше, как мы это сделали. Ответ: \(y^2u^2 \cdot (4y^4u^4 - 1)\)