4.5. Разложите на множители: a) x³ - 4x²y + 4xy²; б) pt² + 6p²t + 9p³; в) 4a³ + 12a²b + 9ab²; г) 9x³y - 12x²y² + 4xy³; д) x²(x - 1) + 4x(x - 1) + 4(x - 1); е) 36(y + 2) + 12y(y + 2); ж) 25x²(x² - 1) - 10x(x² - 1) + x² - 1; з) 9a²(a² - b²) + 12ab(a² - b²) + 4b²(a² - b²).

Разложим на множители каждое из выражений:

1. a) $$x^3 - 4x^2y + 4xy^2$$

   Вынесем общий множитель x за скобки: $$x(x^2 - 4xy + 4y^2)$$

   В скобках - полный квадрат: $$x(x - 2y)^2$$

   Ответ: $$x(x - 2y)^2$$

2. б) $$pt^2 + 6p^2t + 9p^3$$

   Вынесем общий множитель p за скобки: $$p(t^2 + 6pt + 9p^2)$$

   В скобках - полный квадрат: $$p(t + 3p)^2$$

   Ответ: $$p(t + 3p)^2$$

3. в) $$4a^3 + 12a^2b + 9ab^2$$

   Вынесем общий множитель a за скобки: $$a(4a^2 + 12ab + 9b^2)$$

   В скобках - полный квадрат: $$a(2a + 3b)^2$$

   Ответ: $$a(2a + 3b)^2$$

4. г) $$9x^3y - 12x^2y^2 + 4xy^3$$

   Вынесем общий множитель xy за скобки: $$xy(9x^2 - 12xy + 4y^2)$$

   В скобках - полный квадрат: $$xy(3x - 2y)^2$$

   Ответ: $$xy(3x - 2y)^2$$

5. д) $$x^2(x - 1) + 4x(x - 1) + 4(x - 1)$$

   Вынесем общий множитель (x - 1) за скобки: $$(x - 1)(x^2 + 4x + 4)$$

   В скобках - полный квадрат: $$(x - 1)(x + 2)^2$$

   Ответ: $$(x - 1)(x + 2)^2$$

6. e) $$36(y + 2) + 12y(y + 2)$$

   Вынесем общий множитель 12(y + 2) за скобки: $$12(y + 2)(3 + y)$$

   Ответ: $$12(y + 2)(y + 3)$$

7. ж) $$25x^2(x^2 - 1) - 10x(x^2 - 1) + x^2 - 1$$

   Вынесем общий множитель (x² - 1) за скобки: $$(x^2 - 1)(25x^2 - 10x + 1)$$

   Во второй скобке - полный квадрат: $$(x^2 - 1)(5x - 1)^2$$

   Разложим (x² - 1) как разность квадратов: $$(x - 1)(x + 1)(5x - 1)^2$$

   Ответ: $$(x - 1)(x + 1)(5x - 1)^2$$

8. з) $$9a^2(a^2 - b^2) + 12ab(a^2 - b^2) + 4b^2(a^2 - b^2)$$

   Вынесем общий множитель (a² - b²) за скобки: $$(a^2 - b^2)(9a^2 + 12ab + 4b^2)$$

   Во второй скобке - полный квадрат: $$(a^2 - b^2)(3a + 2b)^2$$

   Разложим (a² - b²) как разность квадратов: $$(a - b)(a + b)(3a + 2b)^2$$

   Ответ: $$(a - b)(a + b)(3a + 2b)^2$$