6. $$RE = EM = MQ, KL - ?$$

Задача: Найти длину $$KL$$, если $$RE = EM = MQ$$ и $$REQM$$ - равнобедренная трапеция. Также дано $$RQ = 12$$ и $$\angle R = 60^\circ$$. Решение: 1. Так как $$RE = EM = MQ$$, трапеция $$REQM$$ равнобедренная, а углы при основании равны, то $$\angle R = \angle Q = 60^\circ$$. 2. Проведем высоты $$EA$$ и $$MB$$ из точек $$E$$ и $$M$$ к основанию $$RQ$$. Тогда $$RA = BQ$$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$REA$$. В нем $$\angle R = 60^\circ$$, значит $$\angle REA = 30^\circ$$. Так как $$RE = EM = MQ$$ и $$RE = RA + AE = RA + EM$$, а также $$EM = MQ$$, то $$RE = EM = MQ = x$$. 4. В прямоугольном треугольнике $$REA$$, $$RA = RE \cdot \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$$. Так как $$RA = BQ$$, то $$BQ = \frac{x}{2}$$. 5. Так как $$RQ = RA + AB + BQ$$, и $$EM = AB = x$$, получаем $$12 = \frac{x}{2} + x + \frac{x}{2} = 2x$$. Отсюда $$x = 6$$, то есть $$RE = EM = MQ = 6$$. 6. Теперь рассмотрим трапецию $$REQM$$. $$KL$$ - средняя линия трапеции, так как $$RE=EK$$ и $$ML=LQ$$. 7. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$KL = \frac{RE + MQ}{2} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$$. Ответ: $$KL = 9$$.