В предложении пропущен глагол, описывающий действие Джейн.
Рассмотрим варианты:
A inviting (приглашая) - герундий, может быть частью составного глагола или самостоятельным действием.
B invited (приглашенный) - причастие прошедшего времени.
C to invite (пригласить) - инфинитив.
Контекст «Stephen to the party» (Стивена на вечеринку) и «sent him another invitation» (отправил ему еще одно приглашение) указывает на действие приглашения.
«Jane forgot ... Stephen to the party» (Джейн забыла ... Стивена на вечеринку).
Наиболее логично, что Джейн забыла пригласить Стивена. Для этого используется инфинитив с частицей «to».
«Jane forgot to invite Stephen to the party».
Вариант A «inviting» мог бы использоваться, если бы было «Jane forgot about inviting Stephen...».
Вариант B «invited» мог бы использоваться, если бы было «Jane forgot she invited Stephen...».
Таким образом, инфинитив «to invite» является правильным выбором.