Решение задачи на нахождение радиуса окружности, вписанной в ромб.

Дано: * Ромб MNKL * \(\angle MNK = 60^\circ\) * \(KO = 14 \text{ мм}\) * \(S_{MNKL} = 392\sqrt{3} \text{ мм}^2\) Найти: Радиус вписанной окружности r. Решение: 1. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Значит, \(OK = KO = 14 \text{ мм}\). Тогда диагональ \(KN = 2 cdot KO = 2 cdot 14 = 28 \text{ мм}\). 2. Площадь ромба можно выразить как половину произведения его диагоналей: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. У нас есть одна диагональ KN, и площадь ромба. Выразим и найдем другую диагональ ML: \(S_{MNKL} = \frac{1}{2} KN cdot ML\) \(392\sqrt{3} = \frac{1}{2} cdot 28 cdot ML\) \(ML = \frac{2 cdot 392\sqrt{3}}{28} = \frac{784\sqrt{3}}{28} = 28\sqrt{3} \text{ мм}\) 3. Радиус окружности, вписанной в ромб, можно найти как половину высоты ромба. Высоту ромба можно найти, зная площадь и сторону ромба. Сначала найдем сторону ромба. Рассмотрим треугольник MNK. Так как \(\angle MNK = 60^\circ\), а ромб состоит из двух равнобедренных треугольников, то \(\angle KMN = \angle MKN = (180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ\). Значит, треугольник MNK - равносторонний, и \(MN = NK = MK = 28 \text{ мм}\). 4. Площадь ромба также можно найти как произведение стороны на высоту: \(S = a cdot h\), где a - сторона ромба, h - высота ромба. Выразим высоту ромба: \(h = \frac{S}{a} = \frac{392\sqrt{3}}{28} = 14\sqrt{3} \text{ мм}\) 5. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба: \(r = \frac{h}{2} = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \text{ мм}\) Ответ: \(r = 7\sqrt{3}\) мм. **Ответ: \(7\sqrt{3}\) мм**