Решение задачи про сыр и мышей

Задача: В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Решение: 1. **Обозначим:** * Пусть ( x ) – количество мышей, которые пришли в первую ночь. * Пусть ( y ) – количество сыра, которое съела каждая мышь в первую ночь. * Пусть ( z ) – общее количество головок сыра изначально. 2. **Составим уравнения:** * Первая ночь: ( x cdot y = 10 ) * Вторая ночь: ( 11 cdot \frac{y}{2} = z - 10 ) 3. **Выразим ( y ) из первого уравнения:** * ( y = \frac{10}{x} ) 4. **Подставим ( y ) во второе уравнение:** * ( 11 cdot \frac{10}{2x} = z - 10 ) * ( \frac{55}{x} = z - 10 ) * ( z = \frac{55}{x} + 10 ) 5. **Анализируем:** * ( x ) должно быть целым числом (количество мышей). * ( z ) должно быть целым числом (количество головок сыра). * ( x ) должно быть делителем числа 55. 6. **Возможные значения ( x ):** * ( x = 1 ), ( z = 55 + 10 = 65 ) * ( x = 5 ), ( z = 11 + 10 = 21 ) * ( x = 11 ), ( z = 5 + 10 = 15 ) * ( x = 55 ), ( z = 1 + 10 = 11 ) 7. **Проверка условий:** * Во вторую ночь осталось ( z - 10 ) сыра. Значит, ( z > 10 ). * Если ( z = 11 ), то ( z - 10 = 1 ), и 11 мышей съели бы по ( \frac{1}{2} ) головки сыра. В первую ночь каждая мышь съела ( \frac{10}{55} ) – не в два раза больше. Поэтому ( z = 11 ) не подходит. * Если ( z = 15 ), то ( z - 10 = 5 ), и 11 мышей съели бы по ( \frac{5}{11} ) головки сыра. В первую ночь каждая мышь съела ( \frac{10}{11} ) – не в два раза больше. Поэтому ( z = 15 ) не подходит. * Если ( z = 21 ), то ( z - 10 = 11 ), и 11 мышей съели бы по 1 головке сыра. В первую ночь каждая мышь съела ( \frac{10}{5} = 2 ) головки сыра, что в два раза больше. Это подходит. * Если ( z = 65 ), то ( z - 10 = 55 ), и 11 мышей съели бы по 5 головок сыра. В первую ночь каждая мышь съела 10 головок сыра, что не в два раза больше. Поэтому ( z = 65 ) не подходит. 8. **Вывод:** * Единственный подходящий вариант: ( z = 21 ). Ответ: **21**