Решение задачи с доказательством, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы докажем важную теорему, связанную с биссектрисой угла. Задача: Доказать, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. Доказательство: Пусть дан угол $$\angle ABC$$, и $$BD$$ - биссектриса этого угла. Нам нужно доказать две вещи: 1. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла. 2. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла. Часть 1: Докажем, что если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла. Пусть $$P$$ - произвольная точка на биссектрисе $$BD$$. Опустим перпендикуляры $$PE$$ и $$PF$$ на стороны угла $$BA$$ и $$BC$$ соответственно. Нам нужно доказать, что $$PE = PF$$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $$\triangle PEB$$ и $$\triangle PFB$$. 1. $$\angle PBE = \angle PBF$$ (так как $$BD$$ - биссектриса угла $$\angle ABC$$). 2. $$\angle PEB = \angle PFB = 90^{\circ}$$ (так как $$PE$$ и $$PF$$ - перпендикуляры). 3. $$BP$$ - общая сторона. Следовательно, $$\triangle PEB = \triangle PFB$$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $$PE = PF$$. Таким образом, любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. Часть 2: Докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла. Пусть $$Q$$ - некоторая точка внутри угла $$\angle ABC$$, такая что расстояния от $$Q$$ до сторон $$BA$$ и $$BC$$ равны, т.е. $$QG = QH$$, где $$QG \perp BA$$ и $$QH \perp BC$$. Нам нужно доказать, что точка $$Q$$ лежит на биссектрисе $$BD$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle QGB$$ и $$\triangle QHB$$. 1. $$QG = QH$$ (по условию). 2. $$\angle QGB = \angle QHB = 90^{\circ}$$ (так как $$QG$$ и $$QH$$ - перпендикуляры). 3. $$BQ$$ - общая сторона. Следовательно, $$\triangle QGB = \triangle QHB$$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что $$\angle QBG = \angle QBH$$. Это означает, что $$BQ$$ - биссектриса угла $$\angle ABC$$, и точка $$Q$$ лежит на биссектрисе $$BD$$. Вывод: Мы доказали, что любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, и наоборот, любая точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. Что и требовалось доказать. Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять теорему о биссектрисе угла и ее свойствах. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать их!