Реши задачу и запиши ответ Две стороны параллелограмма равны 4 и 5, его диагональ - 8. Чему равна его вторая диагональ? Ответ:

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Пусть стороны параллелограмма равны $$a = 4$$ и $$b = 5$$, а одна из диагоналей $$d_1 = 8$$. Обозначим вторую диагональ как $$d_2$$. Угол между сторонами $$a$$ и $$b$$ обозначим как $$\alpha$$. Тогда, по теореме косинусов, для треугольника, образованного сторонами $$a$$, $$b$$ и диагональю $$d_1$$:

$$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$$ $$8^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos(\alpha)$$ $$64 = 16 + 25 - 40 \cos(\alpha)$$ $$64 = 41 - 40 \cos(\alpha)$$ $$40 \cos(\alpha) = 41 - 64$$ $$40 \cos(\alpha) = -23$$ $$\cos(\alpha) = -\frac{23}{40}$$

Теперь рассмотрим второй треугольник, образованный сторонами $$a$$, $$b$$ и диагональю $$d_2$$. Угол между сторонами $$a$$ и $$b$$ в этом треугольнике будет $$180^{\circ} - \alpha$$. Тогда:

$$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^{\circ} - \alpha)$$

Учитывая, что $$\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos(\alpha)$$:

$$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$$ $$d_2^2 = 4^2 + 5^2 + 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{23}{40}\right)$$ $$d_2^2 = 16 + 25 - 40 \cdot \frac{23}{40}$$ $$d_2^2 = 41 - 23$$ $$d_2^2 = 18$$ $$d_2 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ $$d_2 \approx 4.24$$

Ответ: Вторая диагональ параллелограмма равна $$3\sqrt{2} \approx 4.24$$.