Реши задачу: Найди, чему равно основание равнобедренного треугольника, если сумма углов при основании равна 60°, а высота, проведённая к основанию, — 31 см.

Разберем решение задачи шаг за шагом: 1. Анализ условия. Нам дан равнобедренный треугольник, у которого сумма углов при основании равна 60°. Это означает, что каждый угол при основании равен 30° (так как углы равны в равнобедренном треугольнике). Тогда третий угол треугольника (угол при вершине) равен 180° - 60° = 120°. Это неверно, так как сумма углов при основании равна 60, значит каждый угол равен 30, тогда 180 - 30 - 30 = 120, то есть угол при вершине равен 120. 2. Определение типа треугольника. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то каждый из них равен (60° / 2 = 30°). Следовательно, угол при вершине равен (180° - 60° = 120°). 3. Высота в равнобедренном треугольнике. Высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит угол при вершине пополам, а также делит основание пополам. 4. Рассмотрение прямоугольного треугольника. Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. В этом прямоугольном треугольнике один из углов равен (120° / 2 = 60°), а другой угол равен 30°. 5. Использование тангенса. Пусть (h) – высота, а (a) – половина основания. Тогда \[\tan(30°) = \frac{a}{h}\] Известно, что \(h = 31\) см. Следовательно, \[a = h \cdot \tan(30°)\] Так как \(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\, то \[a = 31 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{31}{\sqrt{3}}\] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[a = \frac{31}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{31\sqrt{3}}{3}\] 6. Нахождение основания. Основание равно (2a), значит \[2a = 2 \cdot \frac{31\sqrt{3}}{3} = \frac{62\sqrt{3}}{3}\] Ответ: \(\frac{62\sqrt{3}}{3}\) см.