Реши задачу. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найди радиус этой окружности, если основания трапеции равны 15 см и 24 см. Выбери верный вариант. r = 3√7 r = 2√21 r = 6√10 r = 5√14

Разберем решение задачи по шагам. 1. Свойство описанного четырехугольника: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. В данном случае это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон. 2. Найдем боковую сторону трапеции: Обозначим основания трапеции как $$a = 15$$ см и $$b = 24$$ см. Пусть боковая сторона равна $$c$$. Тогда: $$a + b = 2c$$ $$15 + 24 = 2c$$ $$39 = 2c$$ $$c = \frac{39}{2} = 19.5$$ см 3. Найдем высоту трапеции: Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - боковая сторона трапеции, а один из катетов - полуразность оснований трапеции. Катет (разность полу-оснований) равен: $$\frac{b - a}{2} = \frac{24 - 15}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$ см Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $$h$$: $$h^2 = c^2 - (\frac{b - a}{2})^2$$ $$h^2 = (19.5)^2 - (4.5)^2$$ $$h^2 = 380.25 - 20.25$$ $$h^2 = 360$$ $$h = \sqrt{360} = \sqrt{36 \cdot 10} = 6\sqrt{10}$$ см 4. Найдем радиус вписанной окружности: В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру окружности. Следовательно, радиус равен половине высоты: $$r = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{10}}{2} = 3\sqrt{10}$$ см Однако, среди предложенных вариантов ответа нет $$3\sqrt{10}$$. Вероятно, в условии задачи или в вычислениях была допущена ошибка. Если допустить, что трапеция не равнобедренная, а прямоугольная, то такой подход не сработает. Проверим еще раз условие: в равнобедренную трапецию вписана окружность, основания 15 см и 24 см. Значит, можно использовать свойство, что высота равна диаметру вписанной окружности. В решении была допущена ошибка. После исправления решения ответ будет следующим: $$h = \sqrt{(19.5)^2 - (4.5)^2} = \sqrt{380.25 - 20.25} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$$ $$r = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{10}}{2} = 3\sqrt{10}$$ 5. Перепроверим возможные варианты ответа: У нас получилось $$r = 3\sqrt{10}$$, но такого варианта нет в предложенных. Значит, нужно проверить условие задачи. 6. Предположим, что в условии опечатка и боковая сторона не 19.5, а трапеция прямоугольная Если трапеция прямоугольная, то боковая сторона равна высоте, а другая боковая сторона равна $$c$$ и $$c = \sqrt{h^2 + (24-15)^2}$$ Так как в трапецию вписана окружность, то $$15 + 24 = h + c$$ $$39 = h + c$$ $$c = 39 - h$$ Подставляем в формулу выше $$c = \sqrt{h^2 + 81}$$ $$39 - h = \sqrt{h^2 + 81}$$ $$(39 - h)^2 = h^2 + 81$$ $$1521 - 78h + h^2 = h^2 + 81$$ $$1440 = 78h$$ $$h = \frac{1440}{78} = \frac{240}{13}$$ $$r = \frac{h}{2} = \frac{120}{13} \approx 9.23$$ Опять не подходит ни один из вариантов ответа. Итоговый ответ: На основании проведенных расчетов, ни один из предложенных вариантов не соответствует полученному значению радиуса $$r = 3\sqrt{10}$$. Похоже, что наиболее вероятный ответ, который ближе всего к правильному, отсутствует в предложенных вариантах. Но если выбирать из имеющихся, то, возможно, была опечатка, и правильный ответ $$r = 3\sqrt{10}$$.