Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратных уравнений вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ будем использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

Если D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

Если D = 0, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих):

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

1. Уравнение 1: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$

   Здесь a = 1, b = 2, c = -3.

   Дискриминант: $$D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

   Корни: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

   $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

   Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -3$$

2. Уравнение 2: $$x^2 + 3x - 4 = 0$$

   Здесь a = 1, b = 3, c = -4.

   Дискриминант: $$D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$

   Корни: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

   $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$

   Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -4$$

3. Уравнение 3: $$x^2 - 4x - 21 = 0$$

   Здесь a = 1, b = -4, c = -21.

   Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$$

   Корни: $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 + 10}{2} = 7$$

   $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 - 10}{2} = -3$$

   Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = -3$$

4. Уравнение 4: $$x^2 + x - 56 = 0$$

   Здесь a = 1, b = 1, c = -56.

   Дискриминант: $$D = 1^2 - 4(1)(-56) = 1 + 224 = 225$$

   Корни: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2(1)} = \frac{-1 + 15}{2} = 7$$

   $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2(1)} = \frac{-1 - 15}{2} = -8$$

   Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = -8$$

5. Уравнение 5: $$x^2 - 6x - 7 = 0$$

   Здесь a = 1, b = -6, c = -7.

   Дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$

   Корни: $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 + 8}{2} = 7$$

   $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 - 8}{2} = -1$$

   Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = -1$$