Решение неравенств

7. $$2x^2 - x - 3 \le 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - x - 3 = 0$$:
   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$
2. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражения $$2x^2 - x - 3$$ на каждом из интервалов:
   Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то знаки будут + - +.
3. Выберем интервал, где выражение меньше или равно нулю:
   $$x \in [-1; 1.5]$$

Ответ: $$x \in [-1; 1.5]$$

8. $$-2x^2 + 8x - 6 > 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения $$-2x^2 + 8x - 6 = 0$$:
   Можно разделить обе части уравнения на -2: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
2. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражения $$-2x^2 + 8x - 6$$ на каждом из интервалов:
   Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицателен, то знаки будут - + -.
3. Выберем интервал, где выражение больше нуля:
   $$x \in (1; 3)$$

Ответ: $$x \in (1; 3)$$

9. $$4x^2 + 4x + 1 \le 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения $$4x^2 + 4x + 1 = 0$$:
   Заметим, что это полный квадрат: $$(2x + 1)^2 = 0$$ $$2x + 1 = 0$$ $$2x = -1$$ $$x = -0.5$$
2. Отметим корень на числовой прямой и определим знаки выражения $$4x^2 + 4x + 1$$ на каждом из интервалов:
   Так как это полный квадрат, то выражение всегда неотрицательно (больше или равно нулю).
3. Выберем интервал, где выражение меньше или равно нулю:
   Единственная точка, где выражение равно нулю - это $$x = -0.5$$.

Ответ: $$x = -0.5$$

10. $$5x^2 - 8x - 4 > 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2 - 8x - 4 = 0$$:
   $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$$ $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$$
2. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражения $$5x^2 - 8x - 4$$ на каждом из интервалов:
   Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то знаки будут + - +.
3. Выберем интервалы, где выражение больше нуля:
   $$x \in (-\infty; -0.4) \cup (2; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -0.4) \cup (2; +\infty)$$