Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешить неравенство: 1) $$3^x > 9$$ 2) $$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$$ 3) $$(\frac{1}{4})^x < 2$$ 4) $$4^x < \frac{1}{2}$$ 5) $$2^{3x} \ge \frac{1}{2}$$ 6) $$(\frac{1}{3})^{x-1} \le \frac{1}{9}$$
Ответ:
Решение неравенств:
1) $$3^x > 9$$
Представим 9 как степень числа 3: $$9 = 3^2$$. Тогда неравенство примет вид:
$$3^x > 3^2$$
Так как основание степени (3) больше 1, то функция возрастающая, и мы можем просто сравнить показатели степени:
$$x > 2$$
Ответ: $$x > 2$$
2) $$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$$
Представим $$\frac{1}{4}$$ как степень числа $$\frac{1}{2}$$: $$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$$. Тогда неравенство примет вид:
$$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$$
Так как основание степени ($$\frac{1}{2}$$) меньше 1, то функция убывающая, и при сравнении показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$$x < 2$$
Ответ: $$x < 2$$
3) $$(\frac{1}{4})^x < 2$$
Представим $$\frac{1}{4}$$ как степень числа 2: $$\frac{1}{4} = 2^{-2}$$. Тогда неравенство примет вид:
$$(2^{-2})^x < 2$$
$$2^{-2x} < 2^1$$
Так как основание степени (2) больше 1, то функция возрастающая, и мы можем просто сравнить показатели степени:
$$-2x < 1$$
$$x > -\frac{1}{2}$$
Ответ: $$x > -\frac{1}{2}$$
4) $$4^x < \frac{1}{2}$$
Представим 4 как степень числа 2: $$4 = 2^2$$, а $$\frac{1}{2}$$ как степень числа 2: $$\frac{1}{2} = 2^{-1}$$. Тогда неравенство примет вид:
$$(2^2)^x < 2^{-1}$$
$$2^{2x} < 2^{-1}$$
Так как основание степени (2) больше 1, то функция возрастающая, и мы можем просто сравнить показатели степени:
$$2x < -1$$
$$x < -\frac{1}{2}$$
Ответ: $$x < -\frac{1}{2}$$
5) $$2^{3x} \ge \frac{1}{2}$$
Представим $$\frac{1}{2}$$ как степень числа 2: $$\frac{1}{2} = 2^{-1}$$. Тогда неравенство примет вид:
$$2^{3x} \ge 2^{-1}$$
Так как основание степени (2) больше 1, то функция возрастающая, и мы можем просто сравнить показатели степени:
$$3x \ge -1$$
$$x \ge -\frac{1}{3}$$
Ответ: $$x \ge -\frac{1}{3}$$
6) $$(\frac{1}{3})^{x-1} \le \frac{1}{9}$$
Представим $$\frac{1}{9}$$ как степень числа $$\frac{1}{3}$$: $$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$$. Тогда неравенство примет вид:
$$(\frac{1}{3})^{x-1} \le (\frac{1}{3})^2$$
Так как основание степени ($$\frac{1}{3}$$) меньше 1, то функция убывающая, и при сравнении показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$$x-1 \ge 2$$
$$x \ge 3$$
Ответ: $$x \ge 3$$
Похожие
