Решение неравенств:

1. $$3^x > 9$$

   Представим 9 как $$3^2$$:

   $$3^x > 3^2$$

   Так как основание больше 1, то функция возрастает, и можно перейти к неравенству показателей:

   $$x > 2$$

   Ответ: $$x > 2$$

2. $$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$$

   Представим $$\frac{1}{4}$$ как $$(\frac{1}{2})^2$$:

   $$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$$

   Так как основание меньше 1, то функция убывает, и знак неравенства меняется при переходе к показателям:

   $$x < 2$$

   Ответ: $$x < 2$$

3. $$(\frac{1}{4})^x < 2$$

   Представим $$\frac{1}{4}$$ как $$2^{-2}$$:

   $$(2^{-2})^x < 2$$

   $$2^{-2x} < 2^1$$

   Так как основание больше 1, функция возрастает, переходим к неравенству показателей:

   $$-2x < 1$$

   $$x > -\frac{1}{2}$$

   Ответ: $$x > -\frac{1}{2}$$

4. $$4^x < \frac{1}{2}$$

   Представим 4 как $$2^2$$ и $$\frac{1}{2}$$ как $$2^{-1}$$:

   $$(2^2)^x < 2^{-1}$$

   $$2^{2x} < 2^{-1}$$

   Так как основание больше 1, функция возрастает, переходим к неравенству показателей:

   $$2x < -1$$

   $$x < -\frac{1}{2}$$

   Ответ: $$x < -\frac{1}{2}$$

5. $$2^{3x} \geq \frac{1}{2}$$

   Представим $$\frac{1}{2}$$ как $$2^{-1}$$:

   $$2^{3x} \geq 2^{-1}$$

   Так как основание больше 1, функция возрастает, переходим к неравенству показателей:

   $$3x \geq -1$$

   $$x \geq -\frac{1}{3}$$

   Ответ: $$x \geq -\frac{1}{3}$$

6. $$(\frac{1}{3})^{x-1} \leq \frac{1}{9}$$

   Представим $$\frac{1}{9}$$ как $$(\frac{1}{3})^2$$:

   $$(\frac{1}{3})^{x-1} \leq (\frac{1}{3})^2$$

   Так как основание меньше 1, функция убывает, знак неравенства меняется при переходе к показателям:

   $$x-1 \geq 2$$

   $$x \geq 3$$

   Ответ: $$x \geq 3$$