11. Решить неравенство lóg ²₃ x - 2 log₃ x ≤ 3

Ответ: x ∈ (0; 1/9] ∪ [27; +∞)

1. Шаг 1: Замена переменной. Пусть \[t = \log_3 x\]

   Тогда неравенство примет вид: \[t^2 - 2t \le 3\]

2. Шаг 2: Решим квадратное неравенство:

   Показать подробные вычисления

   • Перенесем все в левую часть: \[t^2 - 2t - 3 \le 0\]
   • Найдем корни квадратного уравнения: \[t^2 - 2t - 3 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]

   Корни: \[t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3\]\[t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1\]

   • Решим неравенство методом интервалов: \[(t - 3)(t + 1) \le 0\]

        +         -         +
   ------(-1)-----(3)-------> t
   

   Решение: \[t \in [-1; 3]\]

3. Шаг 3: Вернемся к исходной переменной x:

   \[-1 \le \log_3 x \le 3\]

4. Шаг 4: Решим двойное неравенство:

   \[3^{-1} \le x \le 3^3\]

   \[\frac{1}{3} \le x \le 27\]

5. Шаг 5: Учтем область определения логарифма: \[x > 0\]

   Окончательное решение: \[x \in (0; \frac{1}{3}] \cup [27; +\infty)\]

Ответ: x ∈ (0; 1/9] ∪ [27; +∞)